DILATACIÓN DE FUNCIONES SEGÚN LOS EJES

I) DILATACIÓN VERTICAL

Vamos a ver como a partir de la gráfica de la función f(x), se pueden representar las funciones del tipo a*f(x).

Observa la gráfica de la función f(x)=x^3-3x.

Dale valores entre 0 y 1 y mayores que 1 al parámetro a y observa lo que pasa.

Para cada valor de a>0, se representa la gráfica de la función g(x)=a*(x^3-4x).

Observa que si 0<a<1, la gráfica se reduce verticalmente en un a*100%. Mientras que si a>1, la gráfica aumenta verticalmente en un a*100%.

Dilatar verticalmente una función a veces equivale a multiplicar todas las ordenadas de los puntos de la gráfica de la función por a. Esto es lo mismo que cambiar la escala del eje OY, multiplicándola por el valor de a. Para comprobar esto, realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno:

• Dibuja en tu cuaderno los ejes cartesianos donde la escala del eje OY sea el doble que la del eje OX. Ahora copia la gráfica de la función f(x)=x^3-4x. Comprueba, en la escena anterior, que es la misma que la gráfica de la función g(x)=2*(x^3-4x).(Basta dar el valor 2 al parámetro a)

Observa que ocurre con el máximo y mínimo relativo de f(x)=x^3-4x cuando a=2.

• Si una función f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (2,-3), ¿en qué punto se encuentra el mínimo relativo de la función 5*f(x)?

II) DILATACIÓN HORIZONTAL

Vamos a ver como a partir de la gráfica de la función f(x), se pueden representar las funciones del tipo f(a*x).

En la siguiente escena está representada la gráfica de la función f(x)=x^3-3x.

Observa que ocurre cuando 0<a<1 y cuando a>1.

Si le damos valores positivos al parámetro a obtenemos la gráfica de la función g(x)=(a*x)^3-3(a*x).

Como habrás comprobado, si 0<a<1 la gráfica aumenta horizontalmente en un (1/a)*100%. Mientras que si a>1, la gráfica se reduce horizontalmente en un (1/a)*100%.

Dilatar horizontalmente una función a veces equivale a multiplicar todas las abscisas de los puntos de la gráfica de la función por 1/a. Esto es lo mismo que cambiar la escala del eje OX, multiplicándola por el valor de 1/a. Para comprobar esto, realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno:

• Dibuja en tu cuaderno los ejes cartesianos donde la escala del eje OX sea el doble que la del eje OY. Ahora copia la gráfica de la función f(x)=x^3-4x. Comprueba, en la escena anterior, que es la misma que la gráfica de la función g(x)=((1/2)*x)^3-4*((1/2)*x). (Basta dar el valor 2 al parámetro a)

Observa que ocurre con el máximo y mínimo relativo de f(x)=x^3-3x cuando a=2 y cuando a=0.2.

• Si una función f(x) tiene un máximo relativo en el punto (1,-2), ¿en qué punto se encuentra el máximo relativo de la función f(0.25*x)?

• Si una función f(x) corta al eje OX en el punto (4,0), ¿en qué punto corta al eje OX la función f(4*x)?

II) CAMBIO DE ESCALA

Vamos a ver como a partir de la gráfica de la función f(x), se pueden representar las funciones del tipo a*f((1/a)*x).

En la siguiente escena está representada la gráfica de la función f(x)=x^3-3x.

Observa que ocurre cuando 0<a<1 y cuando a>1.

Para cada valor de a>0, se representa la gráfica de la función g(x)=a*([(1/a)*x]^3-4*[(1/a)*x]).

Observa que si 0<a<1, la gráfica se reduce proporcionalmente en un a*100%. Mientras que si a>1, la gráfica aumenta proporcionalmente en un a*100%.

Esto equivale a multiplicar todas las abscisas y ordenadas de los puntos de la gráfica de la función pora. Esto es lo mismo que cambiar la escala, multiplicándola por el valor de a. Para comprobar esto, realiza el siguiente ejercicio:

• En la escena anterior, dale el valor 2 al parámetro a. En azul tendás la gráfica de la función f(x)=x^3-4x y en rojo la gráfica de la función g(x)=2*((0.5*x)^3-4*(0.5*x)). Estamos aumentando la gráfica f(x) en un 200%, es decir, en el doble. Ahora cambia la escala al doble y comprueba que la gráfica que está de color rojo cambia a azul. Reduce la escala y vuélvela a cambiarla al doble hasta que te des cuenta del cambio. Con ello comprobamos que representar gráficamente la función g(x) es lo mismo que representar f(x) con el doble de escala.

Observa que ocurre con el máximo y mínimo relativo de f(x)=x^3-4x cuando a=3.

• Si una función f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (-1,2), ¿en qué punto se encuentra el mínimo relativo de la función 5*f(x/5)?

• Utiliza la escena anterior de Descartes para dibujar la gráfica de la siguiente función: (Utiliza la linea de edición de la derecha, donde aparece la función en azul)

f(x)=sen(x)

• Dibuja la gráfica anterior en tu cuaderno con fondo cuadriculado. A partir de esta gráfica, dibuja en tu cuaderno las gráficas de las funciones:

f(x)=2sen(x)............ f(x)=sen(x/2) ............f(x)=2sen(x/2)

Comprueba los resultados en la escena anterior, editando estas últimas funciones el la línea de edición de la derecha.
 

Autor: Francisco José Merayo González

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000