HOMOTECIA Y SEMEJANZA
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Proyecciones
Dado un punto P y una recta r, se llama proyección del punto P sobre la recta r al punto P´, pie de la perpendicular trazada desde P a r.
Proyección del segmento AB es el segmento A´B´ cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B.
En la escena Descartes cambia la orientación y el tamaño del segmento AB moviendo los puntos de control A y B. Calcula el tamaño de la proyección de un segmento de tamaño 5 sobre la recta de la figura, cuando es perpendicular a ella y cuando es paralela. ¿Depende la proyección de la distancia a la recta?
Teorema de la altura en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, la
altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes en
que divide a ésta.
En el triángulo rectángulo de la escena ABC se ha trazado la altura
AD sobre la hipotenusa BC, cumpliéndose para cualquier triángulo rectángulo
la igualdad:
La razón por la que se cumple esa igualdad es porque la altura AD divide al triángulo ABC en otros dos que son semejantes y por tanto sus lados son proporcionales. Son semejantes porque tienen los ángulos iguales (ambos son rectángulos y los dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares).
Mueve el punto de control A y observa cómo varían los valores de los segmentos AD, BD y DC pero se mantienen iguales entre sí, los cocientes BD/AD y AD/DC. Modifica el valor de la hipotenusa y mueve el punto A para que aparezca el triángulo rectángulo.
Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo de lados 10, 8 y 6, traza la altura sobre la hipotenusa y comprueba que se cumple el teorema de la altura. Contrasta los valores con los de la escena Descartes.
Teorema del cateto en un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Como en el caso anterior, la altura trazada sobre la hipotenusa divide al triángulo en otros dos semejantes y se cumplen las igualdades siguientes:
Mueve el punto de control A y observa cómo varían los valores de cada cateto y sus proyecciones sobre la hipotenusa, verificándose en todo momento las igualdades antes indicadas. Modifica el valor de la hipotenusa y mueve el punto A para que aparezca el triángulo rectángulo.
Si la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos de medidas 7 y 4, aplica el teorema del cateto para hallar los valores de cada uno de los catetos. Comprueba en la escena los valores calculados. Halla el área de dicho triángulo.
Construcción de la media proporcional a dos segmentos dados
El teorema de la altura nos permite dar la siguiente construcción de medios proporcionales: Dados dos segmentos BD y DC, se colocan uno a continuación del otro. Se dibuja una circunferencia cuyo diámetro sea la suma de ambos segmentos. Al trazar una perpendicular en el punto de unión de ambos segmentos, ésta cortará a la circunferencia en un punto A que determina un segmento AD que es media proporcional entre los dos segmentos. La razón de que se cumpla esta propiedad es que el triángulo ABD es reactángulo en A puesto que abarca media circunferencia y como AD es perpendicular a la hipotenusa de dicho triángulo BC, puede aplicarse el teorema de la altura en un triángulo rectángulo, cumpliéndose la proporción conocida:
Construye en tu cuaderno un segmento que sea media proporcional a otros dos de medidas 9 y 2. Repite la operación con los valores 8 y 4. En cada caso comprueba en la escena los valores calculados.
Autor: Miguel García Reyes
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||