HOMOTECIA Y SEMEJANZA

Homotecia

Definición

Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.

Mueve con el ratón el  centro de homotecia O y observa cómo varía en función de él la posición del triángulo homotético. Varía la razón de homotecia aumentándola y disminuyéndola. ¿Qué ocurre cuando k=1?¿Y cuando vale -1? 

Homotecias de centro el origen de coordenadas

En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x,y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx    y´=ky

En la escena Descartes puede comprobarse esa relación variando las coordenadas de los puntos A y B. Las coordenadas de los puntos homotéticos aparecen en la parte superior izquierda de la escena.

Dibuja en tu cuaderno el triángulo de vértices A(1,2), B(3,2) y C(-1,3) y aplícale la homotecia de centro el origen y de razón k=2 empleando la transformación de coordenadas correspondiente.  

Composición de homotecias del mismo centro

La composición de homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro cuya razón de homotecia es el producto de las razones. En el escenario Descartes puede verse cómo la composición de homotecias de razones k1 y k2, en la escena izquierda, es igual que la homotecia de razón k=k1k2, en la escena derecha.

Calcula la composición de homotecias de razones k1=0.7 y k2=1.8. Comprueba en la escena derecha si el resultado calculado es el correcto. Repite la operación para k1=-0.25 y k2=-3.

Autor: Miguel García Reyes

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000