MOVIMIENTOS

Simetrías

Simetría axial

Una simetría respecto de un eje r transforma un punto A en otro A´de forma que el eje r es mediatriz del segmento AA´. La simetría conserva las distancias pero no el sentido de los ángulos. En la escena Descartes se presenta un triángulo de lados variables cuya medida se muestra en la esquina superior izquierda. El eje de simetría posee dos puntos de control que permiten moverlo a cualquier posición.

Observa el orden de los vértices del triángulo amarillo y el del triángulo turquesa, transformado mediante la simetría axial. ¿Son iguales o distintos? Mueve el eje de simetría y mira el resultado.

Pulsa el botón Inicio y mueve con el ratón  el punto B hasta que esté alineado con A y C. Observa cómo la simetría cambia el orden de los puntos.Cambia también el eje de simetría.

Arrastra los puntos A, B y C de manera que el triángulo simétrico coincida con el inicial, por ejemplo sitúa C sobre el eje de simetría y los puntos A y B sobre B´ y A´ respectivamente. Observa que el triángulo ABC es un triángulo isósceles y que su transformado A´B´C´coincide con él. En este caso se dice que el triángulo ABC tiene un eje de simetría. 

Construye un triángulo equilátero de lado 6 moviendo los vértices y controlando las medidas. Comprueba que tiene tres ejes de simetría y di por donde pasan.

Ejes de simetría

Si el simétrico de una figura respecto e un eje coincide con ella misma, entonces se dice que tiene un eje de simetría. En la escena Descartes disponemos de cuatro puntos que forman un rectángulo y un eje de simetría r que puede moverse a cualquier posición.

Desplaza el eje de simetría hasta que la figura simétrica del rectángulo ABCD coincida con ella misma. En ese momento podemos decir que r es  un eje de simetría del rectángulo. ¿Por dónde pasa? ¿Sabrías decir si tiene alguno más?

Repite el proceso anterior con un cuadrado y un rombo e indica cuántos ejes de simetría tiene cada uno y cuáles son.

Simetrías en el plano cartesiano

Las simetrías que tienen por ejes los ejes cartesianos tienen expresiones sencillas. Si llamamos al eje de ordenadas r y al eje de abscisas s. Los transformados mediante esas dos simetrías del punto A aparecen como Ar y As.

Halla los simétricos respecto a los ejes r y s de los siguientes puntos: A(1,1), B(-2,3), C(2,-1), D(-2,-3). 
Si se tratara de un punto cualquiera de coordenadas (x,y) halla sus coordenadas mediante las simetrías de ambos ejes. Calcula y dibuja en tu cuaderno las coordenadas de los cuadrados simétricos al de vértices A(1,1), B(1,4), C(4,4) y D(4,1) respecto a los ejes r y s.

Composición de simetrías

Al aplicar dos simetrías pueden presentarse varios casos: 

• Que se aplique dos veces la misma simetría, en cuyo caso se trata de la identidad.
  

• Si dos simetrías tienen ejes paralelos, su composición se convierte en una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre ejes.
  

• Que los ejes se corten, entonces su producto es un giro de centro el corte de los ejes y ángulo el doble del que forman los ejes.

En la escena Descartes siguiente vamos a poder estudiar los dos primeros casos ya que se muestran dos ejes r y s paralelos que transforman respectivamente en el triángulo ABC en los A´B´C´ y A´´B´´C´´ respectivamente. 

Mueve los vértices del triángulo naranja y mira como se conserva la forma y el tamaño de los correspondientes. Arrastra los ejes en ambos sentidos para comprobar que se cumple la relación entre dimensión del desplazamiento y distancia entre ejes.

Arrastra el eje s hasta situarlo encima del r y observa cómo coinciden los triángulos ABC y A´´B´´C´´ 

Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno una situación similar a la presentada en la escena. Comprueba que la traslación equivalente es de tamaño doble que la distancia entre ejes. 

Investiga qué pasaría si primero se aplicara la simetría s y luego la r. ¿Daría el mismo resultado?

Ejes no paralelos

En el caso de que los ejes no sean paralelos, el producto de dos simetrías da lugar a un giro cuyo ángulo es el doble del que forman ambos ejes. En la escena los ejes r y s se cortan en un punto O y además puede verse cómo los vértices correspondientes a las dos simetrías están dentro de los arcos correspondientes a un giro. El ángulo de giro es doble porque cada eje corta a cada arco en dos partes iguales, ya que se trata de la mediatriz a cada segmento formado por puntos homólogos. 

Dibuja en tu cuaderno una figura similar  a la que aparece en la escena Descartes. Comprueba con el compás que se pueden trazar arcos de circunferencia con centro el punto de corte de los ejes y extremos los puntos correspondientes a las dos simetrías.

Mueve en la escena descartes los puntos r y s para componer distintas simetrías y observa la magnitud del ángulo de giro obtenido.

Autor: Miguel García Reyes

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000