OPERACIONES CON POTENCIAS
Producto de potencias de la misma base
Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento:
43 = 4 * 4 * 4
y
45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4,
luego
43 * 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5
En general:
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores
am * an = am+n
La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos. Haz un razonamiento similar al anterior para comprobar la regla en el caso de que alguno de los exponentes (o ambos) sea negativo.
10. Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:
a) 23 * 27 b) 35 * 33 c) 55 * 53
d) 2-3 * 25 e) 3-5 * 3-3 f) 5-5 * 53
Comprueba los resultados en la siguiente escena.
11. Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:
a) 2 * 24 * 25 b) 42 * 44 * 43 c) 8 * 8 * 84
d) 2 * 2-4 * 25 e) 4-2 * 44 * 4-3 f) 8-1 * 8 * 84
Comprueba los resultados en la siguiente escena.
Cociente de potencias de la misma base
De manera similar al producto, puedes deducir la siguiente regla general que es válida tanto para exponentes positivos como negativos:
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.
am : an = am-n
Por ejemplo,
45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3
12. Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:
a) 27 : 23 b) 35 : 33 c) 56 : 53
d) 27 : 2-3 e) 3-2 : 32 f) 5-4 : 5-3
Comprueba los resultados en la siguiente escena.
Potencia de un producto
Si queremos realizar la siguiente operación: (2*3)2, observamos que
(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33
Para calcular el resultado podemos multiplicar 2*3 y elevar el producto al cubo: (2*3)3 = 63 = 216
O bien, elevar al cubo cada uno de los factores 23 = 8 y 33= 27 y multiplicar el resultado 8*27 = 216.
En general:
La potencia de un producto es igual al producto de la potencia
(a*b)m = am * bm
13. Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:
a) (2*5)6 b) (3*4)2 c) (2*8)3 d) (4*6)4
e) (2*5)-2 f) (3*2)-3 g) (2*5)-3
Comprueba los resultados en la siguiente escena.
Potencia de un cociente
De manera similar al caso de la potencia de un producto es fácil deducir que
La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor
(a/b)m = am / bm
14. Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:
a) (18/2)6 b) (8/4)2 c) (10/5)3 d) (12/3)4
e) (18/2)-3 f) (8/4)-2 g) (10/5)-3 h) (9/3)-4
Comprueba los resultados en la siguiente escena.
Potencia de una potencia
Si queremos calcular (45)3 utilizamos la siguiente razonamiento:
(45)3 = 45 * 45 * 45 = 45+5+5 = 45*3
Y deducimos así la siguiente regla, también válida para exponentes negativos:
Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva:
(am)n = am*n
15. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:
a) (23)7 b) (35)3 c) (55)3
d) (2-3)2 e) (33)-2 f) (5-2)-3
Comprueba los resultados en la siguiente escena.
Autor: Fernando Arias Fernández-Pérez
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||