ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2 ). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas la ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. Por ejemplo:
Ejercicio 1.- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:
3x2 - 3x/2 = x/2 - x + 2 + x2
Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:
6x2 - 3x = x - 2x + 4 + 2x2
Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x2 - 2x - 4 = 0
y simplificando (dividiendo todo por 2): : 2x2 - x - 2 = 0.
Enseguida la resolveremos numéricamente, pero ahora veamos cómo hacerlo gráficamente:
La expresión del primer miembro de la ecuación, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el primer ejemplo anterior corresponde a :
f(x) ó y = 3x2 - 4x + 1.
Observa en la siguiente escena su representación gráfica.
Como puede verse la gráfica corresponde a una curva que se llama "parábola".
En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos puntos; los valores de la abscisa "x" de dichos puntos serán la solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3x2 - 4x + 1 = 0 que es lo que deseábamos.
Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre la curva o los valores de x en la ventana inferior de la escena (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual).
Por tanto:
La solución de una ecuación de segundo grado es la "x" de los puntos de corte de la gráfica (parábola), que se obtiene de la ecuación, con el eje de abscisas (X).
Seguro que habrás obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3).
A las soluciones de la ecuación, también se les llama "raices" de la ecuación.
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:
ax2 +bx + c = 0
donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.
Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:
Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2
- 4x + 1 = 0:
tendrá por soluciones:
Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.
Ejercicio 2.- Resolver las siguientes ecuaciones
a) x2/2 = x/2 + 3
b) 3x2 = 12
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo ambas ecuaciones ("atención al denominador común en la primera").
En la escena siguiente asigna a las letras (parámetros) "a", "b" y "c" los valores correspondientes para cada ecuación (puedes hacerlo con las "flechitas" de las ventanas o borrando los valores actuales y escribiendo los nuevos directamente.
(Modifica si lo deseas el valor de la "escala" si no se ve la gráfica completa)
Mueve el punto rojo hasta encontrar el punto de corte de la parábola con el eje X. También puedes cambiar los valores de x en la ventana inferior.
Los valores de x que obtienes deben coincidir con las soluciones numéricas halladas antes.
En el ejemplo a) del ejercicio deberás llegar a que: "a = 1" , "b = -1" y "c = -6"con lo que se obtienen las soluciones de la ecuación:
x = -2 ; x = 3.
En el ejemplo b), las soluciones deben ser x = 2 y x = -2 ("ojo" que en este caso b = 0.) Seguro que esta ecuación también sabes resolverla sin usar la fórmula (decimos que es una ecuación de segundo grado incompleta).
basta observar que 3x2 = 12 es lo mismo que x2 = 4 y por tanto x = raiz cuadrada de 4, o sea 2 o -2.
Por tanto:
"Si la parábola corta al eje X en dos puntos, los valores de x en esos puntos son la dos soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado"
Utiliza la siguiente escena, cambiando los valores de los parámetros a, b y c de forma adecuada, para resolver las siguientes ecuaciones gráficamente.
a) x2 - 2x -1 = 0
b) x2 -1/4 = 0
c) 4x2 - 4x +1 = 0
Resuélvelas numéricamente en el cuaderno de trabajo usando la fórmula para comprobar que obtienes las mismas soluciones.
Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso.
Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos
Solución: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa el el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.
Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.
Operando: x2 + 4x + 4 = x 2 + 2x + 1+ x2.
Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: x2 - 2x - 3 = 0
Ecuación que sabes resolver numéricamente, con soluciones: x = 3 y x = -1 como puede verse en la siguiente escena.
Naturalmente la solución x =-1 hay que rechazarla porque un lado no puede tener una medida negativa, luego nos queda:
Hipotenusa: x + 2 = 5 ; Cateto mayor: x + 1 = 4 ; Cateto menor: x = 3.
Plantea la ecuación necesaria en cada caso para resolver los siguientes problemas. Resuélvelas numéricamente y también gráficamente usando la escena anterior
Problema 2.- Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial.
(Sugerencia: Realiza un dibujo del problema).
Solución: Base = 12 cm. Altura = 4 cm.
Problema 3.- Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
(Solución: 5 , 7, y 9 )
Problema 4.- La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
(Solución: 6 y 36)
Autor: Leoncio Santos Cuervo
 |
||
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||