Construcción geométrica de las curvas cónicas
OBJETIVOS:
En esta lección aprenderás a generar las
curvas cónicas (parábola, elipse e hipérbola) de forma
geométrica a partir de elementos tan simples como segmentos, sus
puntos medios, rectas perpendiculares y circunferencias. En las ventanas
gráficas podrás dibujar como si se tratara de una hoja en
blanco con la diferencia de que el ordenador dibujará por ti decenas
de rectas que de otro modo sería muy pesado hacer a mano. Tu capacidad
para visualizar dinámicamente objetos geométricos habrá
mejorado después de unos cuantos experimentos en las ventanas.
Una vez que hayas experimentado con las cónicas
puedes consultar otras lecciones donde se introducen coordenadas y sus
ecuaciones cartesianas así como otra forma de generar las
cónicas a partir de las propiedades métricas relacionadas
con unos puntos llamados focos.
I. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
En la siguiente ventana el punto M es el punto medio del
segmeto PQ.
Ejercicio 1 Comprueba como al mover P o Q el punto
M también se mueve manteniéndose equidistante de ambos.
En la ventana siguiente añadimos al segmento PQ la recta perpendicular que pasa por el punto medio M. Verás que es muy fácil obtener muchas rectas de forma dinámica (es decir moviendo el punto P).
Ejercicio 2 Arrastra P o Q y observa el rastro que dejan las distintas rectas. Este rastro será el que utilicemos para dibujar las cónicas, es importante que entiendas cómo se crea .
Ejercicio 3 Mueve ahora el punto P mediante las
flechas de la parte inferior de la ventana, aunque el movimiento del punto
P es el mismo que arrastrándolo con el ratón, observarás
que el trazado del los rastros es más uniforme pues no depende ahora
de la velocidad con que desplazamos el ratón.
III. LA PARABOLA:
Ya estamos en condiciones de generar la parábola,
para ello vamos a mover el punto P sobre una recta, ahora ya no podrá
desplazarse por cualquier lugar del plano sino sólo sobre la recta.
Para desplazarlo hemos optado por hacerlo con las flechas porque el dibujo
obtenido queda mejor.
Ejercicio 4 Mueve el punto P y verás que
el rastro que deja envuelve una parábola.
Ejercicio 5 Cambia con las flechas los valores
en 'mover_P' verás que la recta se aleja o cerca. Limpia la
ventana y dibuja otra parábola par un nuevo valor.
Ejercicio 6 ¿Qué ocurre cuando el
punto Q está la recta?
IV. LA HIPERBOLA:
La situación es análoga
a la anterior pero ahora el P tiene su movimiento restringido a una circunferencia,
al desplazarse sobre ella las rectas ahora envuelven con su rastro
una hipérbola. Observa que el punto Q se encuentra fuera
de la circunferencia.
Ejercicio 7 Mueve el punto P y verás que
el rastro que deja envuelve una hipérbola.
Ejercicio 8 Cambia los valores del radio verás
que la circunferencia se hace mayor o menor. Limpia la ventana y dibuja
otra hipérbola para un nuevo valor del radio.
V. LA ELIPSE:
La situación es análoga
a la anterior, P tiene su movimiento restringido también en una
circunferencia, al desplazarse sobre ella las rectas ahora envuelven
con su rastro una elipse. Observa que el punto Q se encuentra dentro
de la circunferencia.
Ejercicio 9 Mueve el punto P y verás que
el rastro que deja envuelve una elipse.
Ejercicio 10 Cambia los valores del radio verás
que la circunferencia se hace mayor o menor. Limpia la ventana y dibuja
otra elipse.
Ejercicio 11: Investiga cuando se obtiene una
elipse más redonda si cuando P y Q están cerca o lejos.
¿Cómo interviene el radio de la circunferencia en lo
anterior?
Autor: Agustín Muñoz Núñez
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Aņo 2000 | ||