A lo largo de la historia se han utilizado motivos geométricos con fines decorativos. Aunque han sido muchos los objetos que han sido embellecidos con diseños geométricos regulares, tales como vasijas, tejidos, puertas, ventanas y otros elementos arquitectónicos, nos vamos a limitar a la ornamentación de muros y suelos. 
Estas decoraciones han sido realizadas mediante mosaicos. Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas (o más habitualmente losetas o baldosas) que no pueden superponerse, ni pueden dejar huecos sin recubrir. Existe un número ilimitado de formas de recubrir el plano. Vamos a ver las situaciones más simples.

Se llaman mosaicos regulares si la tesela utilizada en este recubrimiento es un polígono regular.

Actividad 1.  Descubre que polígonos regulares se pueden utilizar en mosaicos regulares. Intenta formalizar tu descubrimiento teniendo en cuenta (a) el valor de los ángulos interiores de un polígono regular y (b) que un vértice deben confluir tres o más losetas para cubrir el ángulo entero (360º).

Teselación del plano por polígonos regulares (mosaicos regulares).

Los tres polígonos regulares que recubren el plano son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

Comprueba la afirmación anterior en los tres siguientes applets y que independientemente del tamaño de la loseta, todo el plano es recubierto. El punto A es fijo. Mueve el punto B para variar el tamaño.
 
 

A esta altura, te estarás preguntando que otros motivos pueden ser utilizados en la construcción de teselas.

Actividad 2.  Recorta diez o quince trozos de cartulina que tengan la misma forma: un triángulo que no sea equilátero y intenta colocarlas de tal forma que recubran el plano. ¿Es posible? Intenta generalizar tu hallazgo dando las pautas de cómo colocar teselas en forma de cualquier tipo de triángulo para recubrir el plano.

Teselación del plano por triángulos no equiláteros.

Todo triángulo tesela el plano. Compruébalo, mueve los puntos B y C para modificar la forma y el tamaño del triángulo. Recuerda que el punto A es fijo.

Actividad 3.  Has comprobado que cualquier triángulo sirve de forma par una tesela. Te estarás preguntando ¿será posible utilizar un rectángulo? ¿y un cuadrilátero en general? Con rectángulos te parece trivial que es posible.  Recorta diez o quince trozos de cartulina que tengan la misma forma: un cuadrilátero y intenta colocarlas de tal forma que recubran el plano. ¿Es posible? Intenta generalizar tu hallazgo dando las pautas de cómo colocar teselas en forma de cualquier tipo de cuadrilátero para recubrir el plano. (Recuerda los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías).

Teselación del plano por cuadriláteros.

Todo rectángulo tesela el plano. Constátalo en el siguiente applet moviendo el punto B para alterar su forma y tamaño. Recuerda que el punto A es fijo.

Todo cuadrilátero tesela el plano. Admira la belleza de las formas generadas al mover los puntos B, C y D para modificar su forma y tamaño. Recuerda que el punto A es fijo.

Actividad 4.  Has observado que cualquier tesela con forma de polígono de tres o cuatro lados reviste el plano. También conoces que sólo con pentágonos regulares no es posible teselar el plano; tres de estos pentágonos colocados en torno a un vértice dejan un espacio sin cubrir y con cuatro de ellos hay solapamiento. ¿Habrá algún polígono de cinco lados iguales que lo haga? Investiga y trata de encontrar algún pentágono con lados iguales que lo haga. Si no eres capaz, prueba con algún lado desigual (por ejemplo en forma de "casa").

Teselación del plano por pentágonos.

El pentágono regular no tesela el plano pero existe pentágono de lados iguales que sí lo hacen.

El siguiente applet te muestra un pentágono que tiene todos sus lados iguales y tesela el plano. Mueve el punto A para cambiar su tamaño. Se llama teselación del Cairo porque muchas de las calles de esa ciudad fueron embaldosadas de esta manera.

Actividad 5.  También se puede recubrir el plano con dos o más polígonos regulares. Recorta cartulina triángulos equiláteros, cuadrado, pentágonos regulares, hexágonos regulares, heptágonos regulares, octógonos ..., hasta dodecágonos regulares. Intenta en primer lugar que combinaciones se pueden situar estos polígonos regulares en torno a un punto (puedes repetir alguno de ellos). Por ejemplo: dos octógonos y un cuadrado, dos dodecágonos y un triángulo, dos hexágonos y dos triángulos, dos cuadrados y tres triángulos, etc. Ahora intenta recubrir todo el plano disponiéndolos regularmente. Hay multitud de posibilidades. Se llama mosaicos semirregulares todos y cada uno de los vértices tienen la misma disposición de polígonos. ¡Descúbrelos! (puedes verlos en la página 264 del libro de Martin Gadner "Nuevos Pasatiempos Matemáticos" de Alianza Editorial).

Teselación del plano con mosaicos semirregulares.

También se puede cubrir el plano utilizando como teselas dos o más polígonos regulares. Si la disposición de los polígonos alrededor de todos y cada uno de los vértices es idéntica estamos ante un mosaico semirregular. Solo existen ocho de este tipo de mosaicos.

He aquí dos mosaicos semirregulares. Mueve el punto A para cambiar su tamaño. 

Actividad 6. Vamos a seguir "embaldosando" pero vamos a abandonar la regularidad. Partiendo del recubrimiento con cuadrados o con triángulos equiláteros, modifica alguno de estos lados de tal manera que siga recubriendo el plano. Si no lo tienes muy claro, practica en la siguiente sección.

Teselación del plano con mosaicos regulares deformados (abandono de la regularidad).

Otro medio de revestir el plano es utilizar teselas que son modificación de algún lado de los polígonos de mosaicos regulares. La deformación simplemente ha de mantener cierta simetría. 

Los  puntos A, B, C y D son fijos. Mueve los puntos E  y F para cambiar la forma de la tesela y del recubrimiento. Debes procurar que las líneas no se crucen.

Hacemos lo mismo pero partiendo del mosaico regular  formado por triángulos equiláteros. Los  puntos A, B, y C son fijos. Mueve los puntos D, E  y F para cambiar la forma de la tesela y del recubrimiento. Debes procurar que las líneas no se crucen.

Actividad 7.  Investiga la vida y obra del genial artista holandés Maurit Escher. La simetría es belleza.

Autor: Ángel Aguirre Pérez - aap@sauron.quimica.uniovi.es

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000