Semejanza

Proporcionalidad de segmentos

Cuatro segmentos a, b, c y d son proporcionales si se cumple la igualdad: a/b=c/d. A ese cociente común se le llama razón de proporcionalidad.
La escena Descartes dibuja los segmentos que se han introducido en la línea inferior y muestra los cocientes entre cada pareja de valores.

Tres segmentos de medidas a=5 cm, b=7 cm, c=10 cm y d, de tamaño desconocido, son proporcionales. Halla la razón de proporcionalidad y el valor del segmento desconocido. Repite el cálculo con las medidas: 5, 4 y 3.

Teorema de Tales

Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En ejemplo que se presenta en la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.

Observa en la escena cómo se cumple en todo momento que  AB/BC=A´B´/B´C´ Mueve los extremos A, A´, C y C´ y mira si cambian los valores de los cocientes. Mueve también la paralela central arrastrando el punto rojo con el ratón y verás cómo varía cada uno de los cocientes. Repite el proceso en tu cuaderno con las mismas medidas y realiza las mediciones para determinar si se cumple o no la igualdad de cocientes. Desplaza la paralela central hasta que sean iguales los segmentos AB y BC y comprueba si son iguales los segmentos  A´B´ y  B´C´ . Mueve también las dos rectas r y s para ver si se mantiene la igualdad.

Consecuencia del teorema de Tales

Si en la escena anterior se hacen coincidir los puntos A y A´ de manera que formen triángulo con C y C´, el teorema de Tales se sigue cumpliendo y, además, puede concluirse que: Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos, determina sobre éstos segmentos proporcionales. En la escena Descartes en el triángulo ABC se traza una paralela al lado BC que pasa por D y E y determina segmentos que son proporcionales porque sus cocientes son iguales.

Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno un triángulo idéntico al de la escena, traza la paralela al lado BC y comprueba las medidas y sus cocientes. Constata cómo si desplazas los puntos B y C horizontalmente el valor de los cocientes no varía, sin embargo sí varía al desplazar la recta. 

Mueve la recta por encima del vértice A y verás que sigue cumpliéndose la proporcionalidad de esos segmentos. Pasará igual si la arrastras por debajo de B y C.

En un triángulo de lados AB=10 cm, AC=12 cm y BC=8 cm se traza una paralela al lado BC a una distancia de 4 cm del vértice A, tomados sobre el lado AB, y que corta a los lados en D y E. Calcula las medidas AD, AE y DE

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes, se escribe ABC~A´B´C´ , y se verifica:

A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razón de semejanza

En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del triángulo azul y observa como varía el triángulo rojo, semejante al primero. Si los lados del triángulo azul fueran 3, 4 y 5 ¿Qué valor tendrían los del rojo? 

Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los triángulos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 2 y compara ambos triángulos ¿Cómo  son ahora los lados del triángulo azul si los del rojo fueran 3, 5 y 7?

Repite la operación para razones 2, 3 y 0.25 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos triángulos.

¿Dos triángulos iguales, serían semejantes? ¿Y dos triángulos equiláteros? Si dos triángulos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

Semejanza de polígonos

Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales; es decir, si los polígonos ABCDE y A´B´C´D´E´ son semejantes, se escribe ABCDE~A´B´C´D´E´ , y se verifica:

A=A´    B=B´    C=C´  D=D´  E=E´  

      AB/A´B´=BC/B´C´=CD/C´D´=DE/D´E´=EA/E´A´=razón de semejanza

En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del pentágono azul y observa como varía el pentágono rojo, semejante al primero. Si los lados del pentágono azul fueran 3, 4, 4, 6 y 6.5 ¿Qué valor tendrían los del rojo? 

Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los pentágonos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 2 y compara ambos pentágonos ¿Cómo  son ahora los lados del pentágonos azul si los del rojo fueran 3, 5, 6, 8 y 7?

Repite la operación para razones 2, 3 y 0.25 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos pentágonos.

¿Dos pentágonos iguales, serían semejantes? ¿Y dos pentágonos regulares? Si dos pentágonos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos pentágonos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

Autor: Miguel García Reyes

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000