5.- RETOS AVANZADOS

5.1.- El teorema de Pick:

En esta primera escena se muestra una trama cuadrangular donde se encuentra un triángulo. Por motivos prácticos el vértice A es fijo, el B solamente se puede mover sobre la línea horizontal inferior (con las flechitas de "base") y el punto C puede moverse por toda la trama (variando los valores de "altura" y "derecha") excepto por la línea horizontal inferior (un segmento no forma un triángulo). Los vértices siempre se sitúan en puntos de la trama.

Actividad 5.1.- Visualiza en la pizarra electrónica diferentes triángulos y ve completando, en tu cuaderno de trabajo, una tabla como la siguiente:

NOTA: La unidad de área es el cuadrado blanco representado. La unidad de longitud es, evidentemente, el lado de dicho cuadrado. Los puntos de la trama que forman parte del perímetro de la figura son aquellos que se encuentran sobre cualquiera de sus lados. Tendrás que fijarte bien.

En la escena siguiente puedes visualizar diferentes tipos de paralelogramos. Para cambiar el paralelogramo basta con que varíes los valores de "altura" y de "base" (uno u otro, o ambos a la vez). Las restricciones impuestas a los vértices son similares a las de la escena anterior.

Actividad 5.2.- Repite la actividad 5.1 para distintos paralelogramos que visualices en la pizarra electrónica.

Actividad 5.3.- Con los resultados obtenidos en las dos actividades precedentes, intenta hallar una relación que ligue: el número de puntos del perímetro, el número de puntos interiores y el área de la figura correspondiente. Si lo resuelves habrás obtenido un resultado conocido con el nombre de "Teorema de Pick". (PISTA: sumando a una de las cantidades el resultado de multiplicar la otra por un coeficiente adecuado obtendrás un valor que difiere del área real de la figura en una cantidad entera y pequeña)

En esta escena hemos eliminado los parámetros y podemos mover, con el ratón, cualquiera de los cuatro vértices del cuadrilátero, siempre sobre puntos de la trama. Si has resuelto con éxito la actividad anterior puedes representar cuadriláteros cualesquiera y hallar su área sin necesidad de recurrir a las fórmulas geométricas tradicionales. Si dos de los lados se cruzan o formamos un triángulo, los resultados no serán siempre los esperados (no tendremos un cuadrilátero)

Actividad 5.4.- Visualiza diez cuadriláteros cualesquiera, cinco cóncavos y cinco convexos, en la pizarra electrónica. Anota en tu cuaderno de trabajo, para cada uno, el número de puntos de la trama en su perímetro, el número de puntos interiores y el área indicada. Calcula sus áreas usando el teorema de Pick. Comprueba que el área calculada coincide con el área dada en la pizarra electrónica.

Actividad 5.5.- Investiga en casa: ¿Funciona el teorema de Pick para cualquier figura geométrica plana? ¿Qué sucede si hay vértices de la figura que no son puntos de la trama?

5.2.- Es posible?:

En esta escena, similar a la primera, también aparece una trama cuadrangular y un triángulo. Pero ahora no trataremos de áreas, en su lugar nos fijaremos en los ángulos. El funcionamiento de la pizarra electrónica también es similar. La pregunta a la que, finalmente, deberás poder contestar se plantea en la última actividad.

Actividad 5.6.- Visualiza, en la pizarra electrónica, varios triángulos distintos con BAC como uno de sus ángulos agudos. Para cada triángulo que visualices anota, en tu cuaderno de trabajo, el valor del ángulo A y las longitudes de la altura y del segmento AD, así como la razón entre estas dos longitudes. (Una tabla puede serte muy útil)

En la escena siguiente puedes mover los tres vértices del triángulo por todos los puntos de la trama, con la ayuda del ratón.

Actividad 5.7.- Repite la actividad 5.6 para varios triángulos que visualices en la pizarra elctrónica, variando los vértices B y/o C, con el ángulo A siempre agudo (es el que hemos tomado como referencia).

Poder responder a estas dos últimas cuestiones te llevará a una actividad matemática de investigación y descubrimiento un poco compleja, por lo tanto la deberás concluir en casa. Paciencia y suerte.

Pista importante: Si el ángulo BAC es de 60º, la relación entre la altura por C (o por B) y la distancia desde A hasta el pie de dicha altura es igual a la raíz cuadrada de 3.

Actividad 5.8.- Con los datos recogidos en las actividades anteriores, ¿puedes decir si es posible construir un triángulo cuyo ángulo BAC, sea de 60º?

Actividad 5.9.- ¿Es posible, en una trama cuadrangular, construir triángulos equiláteros cuyos vértices sean puntos de la trama? ( Una pregunta equivalente seria saber si es posible, en una disposición de tachuelas cuadrangular, sea cual sea el número de tachuelas por lado, construir un triángulo equilátero con una goma elástica).

Autor: Josep M. Navarro Canut

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000