POTENCIAS DE EXPONENTE Y FRACCIONARIO. RAICES

Definición de potencia    Operaciones con potencias

Raíz de un número

Sabemos que 7² = 49. Esta igualdad la podemos expresar también como

y se lee 7 es igual a la raíz cuadrada de 49. En general, se define la raíz cuadrada de un número a como otro número b tal que b² = a.

Igualmente, se define raíz n-sima de un número a al número b tal que bⁿ = a

Y escribimos:

El número a se llama radicando y el número n, índice.

Por ejemplo,

Es importante precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -4 no existe, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Por la misma razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo.

16. Recordando la lista de los cuadrados y de los cubos perfectos, calcula las siguientes raíces:

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Fijándonos en el primer ejemplo anterior es razonable definir:

porque, recordando la regla de calcular la potencia de otra potencia:

(8^1/3)³ = 8^{1/3 * 3} = 8¹ = 8

En general, se define

ya que

(a^1/n)ⁿ = a^{1/n * n} = a¹ = a

De forma similar se define:

17. Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces. Calcula el valor de la potencia. Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.

      a) 16^3/4      b) 27^2/3      c) 125^4/3      d) 64^5/6      e) 100^-3/2      f) 8^-2/3

Operaciones con potencias de exponente fraccionario

Las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedades que las potencias de exponente entero. Repasémoslas una a una:

Producto de potencias de la misma base

El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores

a^m * aⁿ = a^m+n

La regla anterior es cierta cualquiera que sea la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos, enteros o fraccionarios.

18. Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:

    a) 2^3/5 * 2^7/2          b) 3^5/2 * 3^2/3          c) 5^2/5 * 5^2/3

    d) 2^-3/10 * 2^2/5         e) 3^-5/2 * 3^-2/3        f) 10^-1/5 * 10^1/3

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Cociente de potencias de la misma base

De manera similar al producto, puedes deducir la siguiente regla general que es válida tanto para exponentes positivos como negativos:

El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.

a^m : aⁿ = a^m-n

19. Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:

    a) 2^7/3 : 2^4/3          b) 3^1/5 : 3^2/3          c) 5^1/6 : 5^1/3

    d) 64^3/2 : 64^-1/3        e) 3^-1/2 : 3^3/2          f) 8^-4/3 : 8^-5/3

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias

(a*b)^m = a^m * b^m

20. Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:

    a) (2*5)^1/6         b) (3*4)^3/2         c) (2*8)^2/3         d) (4*6)^3/4

    e) (2*5)^-1/2         f) (3*2)^-2/3         g) (2*5)^-5/3  

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Potencia de un cociente

De manera similar al caso de la potencia de un producto

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor

(a/b)^m = a^m / b^m

21. Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:

    a) (18/2)^5/6         b) (64/4)^1/2         c) (75/5)^2/3         d) (12/3)^3/4

    e) (18/2)^-2/3         f) (32/4)^-3/2        g) (81/27)^-1/3       h) (32/9)^-1/4

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Potencia de una potencia

Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva:

(a^m)ⁿ = a^m*n

22. Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:

    a) (2^1/3)⁷          b) (3⁵)^1/3          c) (5^1/5)^1/3

    d) (2^-3/2)⁴         e) (3^3/4)^-1/4         f) (25^-1/2)^-3

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

23. Básate en las propiedades anteriores para enunciar las propiedades de las raices y las operaciones.

Definición de potencia    Operaciones con potencias 

Autor: Fernando Arias Fernández-Pérez

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000