¿QUE ES UN POLIGONO?
Un polígono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos. A estos segmentos se les llama los lados.
Un polígono se llama regular cuando todos sus ángulos y lados son iguales. En la siguiente ventana aparecen algunos polígonos regulares ¿recuerdas sus nombres?

¿Crees que si dijéramos solo "que tienen sus  lados iguales" o sólo  "que tienen sus  ángulos  iguales"  sería una buena definición de polígono regular?
 
 

ANGULOS DE UN POLIGONO
Arrastra con el ratón los puntos rojos de la línea poligonal cerrada hasta colocarlos sobre los azules en el orden de las agujas del reloj, obtendrás un hexágono. Repite el proceso anterior pero cambiando la colocación por el orden contrario a las agujas del reloj. Mientras movías los puntos has ido obteniendo polígonos (siempre que los segmentos no se cortaran unos a otros) algunos son convexos (sin entrantes) y otros no cóncavos (con entrantes) y todos salvo el último te habrán salido irregulares. En esta unidad nos centramos en los polígonos regulares pues son los que tienen propiedades más interesantes. Además, los irregulares se descomponen en triángulos y se estudia cada triángulo por separado luego nos basta conocer los triángulos para saber de  polígonos irregulares.

En la siguiente figura representamos un pentágono, en el hemos dibujado los ángulos centrales (desde el centro a dos vértices contiguos). Para calcular el valor del ángulo central gira el polígono hasta que dos vértices contiguos pasen por el punto P, el ángulo central será la diferencia del valor del ángulo de giro entre los dos puntos. Como se trata de un pentágono regular el valor será 360/5. Si nuestro polígono tuviera 7 lados el valor sería 360/7. ¿Funciona esta fórmula para el caso del cuadrado y del triángulo? Compruébalo, ¡también son polígonos!

En la siguiente figura  representamos dos ángulos más,  los exteriores (formados por un lado y la prolongación de otro lado) y los interiores (formados por dos lados).  Puedes ver en el dibujo que ambos son suplementarios (los dos juntos suman 180º). Para calcular el valor del exterior imagina que recorres con un coche el polígono, al recorrer una cara el volante va siempre recto pero al llegar a un vértice tendrás que girar un ángulo M para enfilar el nuevo lado (¡si no quieres salirte de la carretera!)  este proceso habrá que hacerlo 5 veces hasta llegar al punto de partida (y con la misma dirección de partida) esto supone que hemos dado una vuelta completa, en total 360º, luego tendremos que

M=360/5

que es el mismo valor que el ángulo central.

 

AREA DE UN POLIGONO
Para calcular el área de un polígono regular necesitamos algunos elementos:

el perímetro de un polígono es la longitud de todos sus lados en el caso de la ventana como es un hexágono será 6*lado.
la apotema que es el segmento que va une el centro del polígono con la mitad de un lado.
En la siguiente ventana el punto M está situado en la mitad del lado, mueve el punto T y comprueba que la apotema tiene la propiedad de ser el segmento  con menor longitud.
Si te fijas  el triángulo ODE aparece 6 veces pues se trata de un hexágono (gira el triángulo), para calcular el área del polígono calcularemos el área de ODE y lo multiplicaremos por 6.

área del triángulo =(base*altura)/2

que en nuestro caso al ser la base=lado del polígono y la altura a la apotema nos queda

área del triángulo =(lado*apotema)/2

y el área total del polígono será:

área del polígono =6*(lado*apotema)/2=(6*lado*apotema)/2=
=(perímetro*apotema)/2




 
POLIGONOS Y CIRCUNFERENCIAS
En la siguiente ventana puedes ver como todo polígono regular está contenido dentro de  una circunferencia que pasa por todos sus vértices, llamada circunscrita  y a su vez contiene a una una circunferencia que es tangente a todos sus lados en los puntos medios (M) llamada inscrita. Gira el siguiente polígono para que se tracen esas circunferencias:
 
 


En la siguiente ventana vemos como cuanto mayor es el número de lados de un polígono más se parece el polígono a la circunferencia que lo circunscribe.
 
 



En la siguiente ventana tenemos un polígono de 20 lados, hazlo girar ¿te convences de que se parece a una circunferencia?

Habrás comprobado que el polígono queda casi encajado entre sus circunferencias inscrita y circunscrita. En realidad los ordenadores dibujan las circunferencias como polígonos de muchos lados.

TESELANDO EL PLANO
Se trata de ver con qué tipo de baldosas se puede embaldosar el suelo, desde luego si son cuadradas  es posible, los suelos de nuestra casa suelen ser así. Moviendo cada baldosa (arrastra el punto dentro dentro de ellas) junta todas las que puedas alrededor de T.

¿Cuántos cuadrados se unen en cada vértice? Salen 4 ¿no? es así porque cada cuadrado aporta un ángulo interior de 90º y para cubrir (teselar) 360º hacen falta 4 porque

360º=4*90º

¿Sería posible hacerlo con hexágonos? inténtalo ahora:

¿Cuántos hexágonos se unen en cada vértice? Puedes dar tú ahora la explicación como en el cuadrado.

Experimenta con los pentágonos intentado colocarlos juntos.

¿Puedes justificar con una fórmula por qué no se puede?
Sólo queda un tipo  de baldosa regular que tesela el plano, puedes comprobarlo en la siguiente ventana:

Autor: Agustín Muñoz

 

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000