La siguiente ventana representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua ¡haz la prueba haciendo clic en el botón y dejándolo pulsado! Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que  dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función. En esta unidad nos ocupamos de interpretar la información que nos proporciona una gráfica, que es mucha. Aquí también es verdad que "un gráfico vale más que mil palabras" claro está, si lo sabes interpretar.

Puedes observar en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido  es cero y que la gráfica va creciendo. En matemáticas las gráficas siempre las recorremos de izquierda a derecha (igual que cuando leemos una línea de un libro) con este convenio no hay duda de si una gráfica crece o decrece.
Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto ¿Qué puedes decir de la relación entre esos números?
¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad? (contesta  a partir del dibujo moviendo el ratón sobre el punto adecuado) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿y tres cuartos?
 

CAMBIO DE BOTELLA

En la siguiente ventana puedes cambiar la forma de la botella haciéndola más ancha o más estrecha arrastrando el punto el punto R. Cámbiala y llénala varias veces. En importante que no cambies la forma de la botella cuando la estás llenado, si quieres otra forma ve a inicio  y vuelve a empezar.
 

¿Cómo varía la forma de la función según se ensancha o se estrecha la forma de la botella? ¿Podrías explicar por qué? ¿cuándo crece más la función? ¿explica con tus palabras que significa en términos de la altura del agua que una función crece más que otra?

La siguiente ventana te puede ayudar a responder a las preguntas anteriores si aún no lo has hecho. Aquí la gráfica nos sale dibujada de golpe y nos ahorramos el tener que llenar la botella:

Una vez que hemos fijado una forma para la botella, la gráfica siempre crece porque cada vez se llena más, pero ¿crece más deprisa cada vez o sigue creciendo al mismo ritmo todo el rato? (¡cuidado con este trabalenguas!)

MAS FORMAS DE BOTELLAS

En la siguiente ventana la forma de la botella ha cambiado ¿te  atreverías a dibujar el gráfico antes de ver como queda en el ordenador?
Observa de nuevo las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos ¿Qué puedes decir de la relación entre esos números? ¿Cuál es la diferencia entre las distintas alturas que se van alcanzando en esos tiempos?
Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube  más despacio ¿por qué?
 

En la siguiente ventana puedes cambiar la forma de la botella moviendo el punto  P . Haz una botella con la boca más estrecha que la base, observa las distintas gráficas que se generan.
 
 

Las gráficas unas veces son convexas  (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida) ¿de qué depende?  ¿Cuándo queda una gráfica con más curvatura? En el siguiente gráfico puedes explorar las formas de la función muy rápidamente para responder a las preguntas anteriores:

 

¿Con cuáles de los tipos de gráficas que han aparecido relacionarías las expresiones: "cada segundo que pasa el agua sube menos", "cada segundo que pasa el agua sube la misma altura ", "la función crece cada vez más deprisa" "cada vez el agua tarda menos en subir la misma altura"?

FORMAS MÁS COMPLEJAS

En esta ventana aparece una botella algo más complicada, antes de abrir el grifo ¿eres capaz de dibujar que forma tendrá la gráfica?

 
 

Haz varias pruebas cambiando la forma de la botella al mover P y Q.
Intenta hacer botellas  que cada vez sean más anchas o cada vez más estrechas, que cambien de forma. Describe con palabras cómo queda la gráfica en cada caso. ¿Eres capaz de dar una explicación en función de la forma de la botella de por qué quedan esas gráficas? Puedes usar la ventana de abajo para encontrar una respuesta. A estas alturas habrás comprobado que la forma de la botella y la función no son lo misma cosa, aunque están  relacionadas

 
 

Puedes intentar dibujar en tu cuaderno  gráficas de botellas que tu te inventes, piensa por ejemplo en una botella redonda tipo pecera, hay muchas posibilidades y algunas se pueden complicar mucho.

Imagina que las botellas que hemos estudiado en esta unidad tuvieran antes de abrir el grifo ya algo de agua, ¿cómo quedarían las gráficas?

 




Autor: Agustín Muñoz Núñez

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000