POLÍGONOS Y CÍRCULO II

El círculo

La circunferencia y el círculo

Al conjunto de los puntos del plano que están a una distancia r de un punto O se le llama circunferencia de centro O y radio r. También se dice que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una distancia igual de otro, llamado centro. Círculo son todos los puntos interiores a una circunferencia.

Si aumentamos el número de lados de un polígono regular se irán aproximando cada vez más a la circunferencia circunscrita.

Aumenta progresivamente el número de lados del polígono de la escena y observa cómo se acaba confundiendo con la circunferencia circunscrita. En el caso del triángulo el lado es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita, al aumentar el número de lados su tamaño va disminuyendo cada vez más.

¿Coinciden el lado y el radio en algún momento? ¿De qué polígono se trata? ¿Se podría dibujar ese polígono empleando sólo un compás?

Ángulos en la circunferencia

Se trata de relacionar medidas de ángulos con arcos de la circunferencia.

Ángulo central

Ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia. A un arco de circunferencia (AB) se le puede asociar una medida angular, que es la del ángulo central correspondiente (AOB).

En la escena Descartes halla el arco correspondiente a un ángulo central de 90º¿Qué parte de la circunferencia representa ese arco ? ¿ Y si aumentas el radio hasta 5? Repite el proceso con 180º y 270º. Calcula también el ángulo central de un pentágono, un hexágono y un dodecágono.

Ángulo inscrito

Ángulo inscrito es el que tiene el vértice en la circunferencia y sus lados la cortan. La medida de un ángulo inscrito (APB) es la mitad del arco que abarca(AOB).

Observa en la escena siguiente que al mover el punto P a un lado y otro la medida del ángulo es siempre la mitad del ángulo que abarca. Si desplazas el punto P hasta que POB estén alineados, podrás intuir por qué se cumple esta propiedad, ya que el triángulo OPA es isósceles.

Mueve los puntos A y B hasta los extremos de un diámetro, es decir, hasta que formen 180º. ¿Cuánto miden entonces todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro?

Desplaza los puntos A y B 270º y halla el valor del ángulo inscrito correspondiente. Reflexiona sobre cuál es el mayor valor que puede alcanzar un ángulo inscrito.

Posiciones relativas de recta y circunferencia

Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si la distancia d del centro de la circunferencia a la recta es mayor que el radio r de la circunferencia ; tangentes, si la distancia de la recta a la circunferencia es igual al radio; y secantes, cuando esa distancia es menor.

Mueve la recta arrastrando con el ratón el punto rojo y sitúala en diferentes posiciones respecto a la circunferencia. Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de radio 3 cm y traza rectas que pasen a una distancia del centro de 5 cm, 3 cm y 2 cm, indica cuándo son exteriores, tangentes o secantes.

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dependiendo de la distancia a que se encuentren y de sus radios, dos circunferencias, cuyos centros se encuentran a una distancia d pueden ser: exteriores, si d es mayor que la suma de sus radios; tangentes exteriores, si d es igual a la suma de sus radios; secantes, si d es menor que la suma de los radios pero mayor que su diferencia; tangentes interiores, si d es igual a la diferencia de los radios; interiores si d es menor que la diferencia de los radios y mayor que cero; concéntricas, si d es cero.

Utilizando la escena anterior mueve una de las circunferencias hasta que se cumplan cada uno de los casos anteriores. ¿En el caso de que las dos circunferencias tuvieran igual radio qué casos pueden darse y cuáles no?

Longitud de la circunferencia

Podemos considerar la circunferencia como un polígono regular con un número muy grande de lados. Ya hemos visto cómo en las escenas del programa Descartes a partir de un determinado número de lados se confunden la circunferencia y el polígono. Si comparamos el perímetro de un polígono regular con la longitud de la circunferencia circunscrita podemos ver cómo se aproximan esos dos valores al aumentar el número de lados.

Busca a partir de qué número de lados coinciden las longitudes del polígono y de su circunferencia circunscrita. ¿Son realmente iguales o sólo hasta esas cifras que aparecen ahí?
Pulsa Inicio, haz el radio=0.5 y aumenta la escala hasta 200. Ahora la longitud de la circunferencia circunscrita es exactamente p. Si no conociéramos el valor de p lo podríamos calcular aproximadamente hallando el perímetro del polígono de 1000 lados inscrito en la circunferencia.

Área del círculo

De la misma forma que un polígono regular y la circunferencia circunscrita se tienden a confundir cuando aumenta el número de lados, el área del polígono y la del círculo se aproximan. En la siguiente escena puedes apreciar la aproximación de los dos valores.

Aumenta el número de lados hasta que sean iguales las cifras de las áreas del polígono y el círculo.

Autor: Miguel García Reyes

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000