POLÍGONOS Y CÍRCULO I
Los polígonos regulares
Polígonos
Polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectilíneos. Un polígono regular es aquel cuyos lados y ángulos interiores son todos iguales.
Con la escena del Nippe Descartes construye los 15 primeros polígonos regulares, varía para ello el número de lados. Observa cómo al aumentar el número de lados el polígono acaba confundiéndose con una circunferencia. Dibuja uno de 50 lados, aumenta la escala hasta 130 y desplaza los ejes hacia un lado para evitar que desaparezcan los lados de la escena, verás así que no es una circunferencia.
Elementos de un polígono regular
Circunferencia circunscrita
Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita. El radio y el centro de dicha circunferencia son el radio y el centro del polígono regular.
Una forma de construcción de polígonos regulares es dividir la circuferencia en un número de arcos iguales y unir los puntos de la división obteniéndose el correspondiente polígono inscrito regular. Cuanto mayor sea el radio de dicha circunferencia mayor será el polígono regular obtenido.
Representa diferentes polígonos y varía para cada uno el tamaño aumentando el radio. ¿En qué polígono coinciden el valor del lado y el radio?
Dibuja en tu cuaderno un hexágono regular
trazando antes una circunferencia y llevando la medida del radio 6 veces sobre ella para
unir los puntos después.
Apotema de un polígono regular
La apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular a un lado desde el centro del polígono. Es básica para conocer el área del polígono ya que es la altura de cada uno de los triángulos formados por cada dos radios y el lado.
En la escena anterior aumenta el número de lados y observa cómo la apotema se va aproximando en longitud al radio del polígono regular.
Ángulos de un polígono
En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios.
Suma de ángulos interiores
Conocemos la suma de los ángulos de cualquier triángulo, que es 180º. Como cualquier polígono se puede dividir en triángulos se podrá calcular cuál es la suma total en cada caso.
Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2). Si el polígono es regular el valor de uno de los ángulos interiores es:
Suma de ángulos exteriores
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) la diferencia es n·180º.
En la escena siguiente podemos ver en rojo los ángulos interiores de cualquier polígono regular, y puedes apreciar que todos juntos dan una vuelta completa, porque suman 360º.
Observa en la escena anterior que cada lado de
un polígono exterior coincide con el siguiente y cómo los tres dan una vuelta completa,
igual pasa con los cuatro del cuadrado y los cinco del pentágono, etc. Aumenta el
número de lados del polígono y mira la disminución que sufren los ángulos exteriores
así como el aumento de los interiores.
Calcula el valor de los ángulos interiores y exteriores de polígonos regulares de
20 y 40 lados. Compruébalo en la escena Descartes.
Dibuja en tu cuaderno polígonos no regulares, señala los ángulos exteriores y
observa cómo se cumple la misma propiedad.
Ángulo central en un polígono regular
Si pensamos en el polígono inscrito en una circunferencia el ángulo central se corresponde al que forman dos radios consecutivos del polígono. La medida de todos los ángulos centrales es de 360º, la misma que la de los ángulos exteriores.
Calcula el ángulo central de polígonos de 6, 12, 20 y 36 lados. Comprueba en la escena el valor de dichos ángulos.
Área de un polígono regular
El área de cualquier polígono es el de la suma
de las áreas de los triángulos en que se puede dividir. Si el polígono es regular el
método se simplifica,ya que puede dividirse en triángulos iguales con un vértice
en el centro del polígono y los otros dos en los extremos de cada lado.
Puesto que la apotema es la altura de cada uno de esos triángulos, su área es el
producto del lado por la apotema partido por dos. Al multiplicar por el número de lados
se obtiene al área del polígono regular: el perímetro por la mitad de la apotema.
Calcula en tu cuaderno el área de los polígonos de 5 lados de tamaño 6, 15 de tamaño 2, y 25 lados de tamaño 1.5, emplea los datos de la apotema que aparece en cada caso y contrasta tus cálculos con los de la escena. En el caso del cuadrado y el hexágono de lado 5 intenta hallar el valor de la apotema y contrástalo con el que aparece en la escena.
Autor:Miguel García Reyes
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||