LOS CUADRILÁTEROS

Tipos de cuadriláteros. Propiedades

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º.

Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados.

Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos dos a dos.

Además, todos los paralelogramos verifican las siguientes propiedades:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.

• Los ángulos opuestos son iguales.

• Las diagonales se cortan en su punto medio.

Los trapecios son cuadriláteros que tienen sólo dos lados opuestos paralelos.

Los trapezoides son cuadriláteros cuyos lados no son paralelos.

1. Arrastra con el ratón los puntos B, C y D y construye tres cuadriláteros de cada clase: tres paralelogramos, tres trapecios y tres trapezoides. En cada caso, anota en tu cuaderno las medida de los lados y de los ángulos. Observa que en el caso de los paralelogramos se cumplen las tres propiedades descritas.

Los paralelogramos

A su vez, los paralelogramos se dividen en tres clases:

• Los rectángulos, que tienen los cuatro ángulos iguales.

• Los rombos, que tienen los cuatro lados iguales.

• Los cuadrados, que tienen los cuatro ángulos iguales y los cuatro lados iguales.

• Los paralelogramos propiamente dicho, es decir, aquéllos que no son rectángulos, ni rombos, ni cuadrados también se llaman romboides.

2. En la escena siguiente mueve los tres vértices B, C y D del cuadrilátero para construir los siguientes paralelogramos. Anota en cada caso el valor de las diagonales y observa sus medidas, así como el ángulo que forman. En los rectángulos y cuadrados, comprueba el valor de las diagonales. En los rombos comprueba la relación entre la mitad de las diagonales y la medida de su lado.

1. Un rectángulo de lados 5 y 8 unidades de longitud. ¿Cuanto miden los cuatro ángulos de un rectángulo? Aplica el teorema de Pitágoras para comprobar el valor de las diagonales.

2. Un rectángulo de lados 10 y 7 unidades de longitud. 

3. Un rombo de lado 7 unidades de longitud y uno de cuyos ángulos mida 30º. Anota la medida de los otros ángulos del rombo. Observa que en los rombos las diagonales son siempre perpendicules y dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales. Comprueba el teorema de Pitágoras en esos triángulos.

4. Un rombo de lado 10 unidades de longitud y uno de cuyos ángulos mida 25º. Anota la medida de los otros ángulos del rombo. Comprueba el teorema de Pitágoras en el triángulo formados por un lado y las diagonales del rombo.

5. Un cuadrado de lado 8 unidades de longitud. Comprueba la medida de las diagonales.

6. Un cuadrado de lado 12 unidades de longitud. Comprueba la medida de las diagonales.

7. Un romboide cuyos lados contiguos midan 9 y 7 unidades de longitud y uno de cuyos ángulos mida 30º. Anota la medida de los otros ángulos del romboide.

8. Un romboide cuyos lados contiguos midan 6 y 10 unidades de longitud y uno de cuyos ángulos midan 40º. Anota la medida de los otros ángulos del rombide.

9. ¿Qué relación hay entre las longitudes diagonales de los paralelogramos en cada clase?

10. ¿Observas alguna característica en el ángulo que forman las diagonales en cada clase de paralelogramo?

3. De un rectángulo se conoce un lado, que mide 4 cm y su diagonal que mide 5 cm. ¿Cual es la medida del otro lado? Construye en la escena anterior un rectángulo con esas medida para comprobar la corrección de tu resultado.

Los trapecios

Los trapecios son cudriláteros que tienen dos lados paralelos, de distinta longitud. Los otros dos lados no son paralelos.

Hay tres tipos de trapecios:

• Los trapecios rectángulos que tienen dos ángulos rectos, de 90º.

• Los trapecios isósceles, cuyos lados no paralelos tienen la misma longitud.

• Los trapecios escalenos, que son todos los demás.

4. En la escena siguiente construye los siguientes trapecios. En cada caso anota en tu cuaderno las medidas de los ángulos.

1. Un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos midan 8 y 13 unidades de longitud y su lado contiguo a los ángulos rectos mida  6 unidades de longitud.

2. Un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos midan 4 y 10 unidades de longitud y su lado contiguo a los ángulos rectos mida  5 unidades de longitud.

3. Un trapecio isósceles cuyos lados paralelos midan 8 y 13 unidades de longitud y sus lados no paralelos midan  6 unidades de longitud.

4. Un trapecio isósceles cuyos lados paralelos midan 4 y 10 unidades de longitud y sus lados no paralelos midan 5 unidades de longitud.

5. Un trapecio escaleno cuyos lados paralelos midan 8 y 13 unidades de longitud y sus lados no paralelos midan 5 y 7 unidades de longitud.

Las cometas

5. Una cometa es un trapezoide muy especiales: sus diagonales se cortan perpendicularmente en el punto medio de una de ellas. Mueve los vértices A, B y C de la cometa de la escena siguiente para construir tres cometas distintas; la primera cuyas diagonales midan 6 y 8 unidades de longitud, la segunda, de 10 y 5 unidades, y la tercera, de 12 y 7 unidades. Anota en el cuaderno los datos de las cometas (longitudes de los lados y de las diagonales y medidas de los ángulos). Investiga la relación entre los lados y entre los ángulos de las cometas. Escribe en el cuaderno las relaciones que has encontrado.

6. Las diagonales de un rombo miden 12 y 8 cm. Calcula la medida de su lado. En la escena anterior construye un rombo con esas dimensiones para comprobar la corrección de tu resultado.

Cálculo del perímetro y del área de un cuadrilátero

Autor: Fernando Arias Fernández-Pérez 

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000