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Optimización de funciones
Análisis
 

3.- Optimización de funciones

En muchas situaciones sociales, políticas, económicas, tecnológicas, físicas, médicas, matemáticas, etc., se plantean problemas sobre optimización de funciones, es decir, problemas en los que sólo nos interesa conocer el máximo o el mínimo de una función.

Para resolver este tipo de problemas hay que seguir los siguientes pasos:

  1. Se plantea la función que deseamos maximizar o minimizar.
  2. Si la función tiene más de una variable, relacionar las variables con los datos del enunciado para conseguir una función de una variable.
  3. Se hallan los máximos y los mínimos de la función.
  4. Solución: se comprueban que los resultados obtenidos tienen sentido y que se adecuan a las condiciones del enunciado.
Veamos a continuación dos ejemplos de problema de optimización:
EJEMPLO 1

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.
  lamina
1.  La función que deseamos maximizar es: V = (80 - 2x)(50 - 2x)x = 4x3 - 260x2 + 4000x

2.  La función es de una variable

3.  Calculamos los extremos relativos de la función:
     V ' = 12x2 - 520x + 4000
     V ' = 0 si y sólo si
12x2 - 520x + 4000 = 0, es decir, si x = 10 o x = 33,3
     V '' = 24x - 520,   V ''(10) < 0

4.  Por lo tanto, el volumen de la caja será máximo cuando x = 10 cm
     x = 33,3 no es solución válida pues 50 - 2x < 0 (las longitudes no pueden ser negativas)

EJEMPLO 2

Una e
mpresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?
 





En la escena están dibujadas f' y f''. Cambia el valor de la x y podrás comprobar los resultados.


1.  Llamaremos x a las alarmas de tipo B instaladas e y a las alarmas de tipo A
     La función que deseamos maximizar es: F(x) =
(yx2)/10

2.  como y = 9 - x, la función queda:
F(x) = (9-x)x2/10=(9x2-x3)/10

3.  Calculamos los extremos relativos de la función:
    
F '(x)=(18x-3x2)/10
     F '(x) = 0 si y sólo si
18x-3x2 = 0, es decir, si x = 0 o x = 6
     F(x) '' = (18 - 6x)/10,   F ''(0) > 0,
F ''(6) < 0

4.  Por lo tanto, el máximo se obtiene cuando x = 6
     luego para maximizar la seguridad se deben instalar 6 alarmas del tipo B y 3 del tipo A


EJERCICIOS

1.-  Entre los números, cuya suma es 36, encuentra aquellos números positivos cuya suma de cudrados sea mínima.
2.-  Halla las dimensiones del jardín rectangular de mayor área que se puede inscribir en un terrno circular de 100 m de radio.
3.-  Inscribimos un triángulo isósceles en una circunferencia de radio R. Determina las dimensiones del triángulo de área máxima.
4.-  Se quieren construir botes de enlatar de forma cilíndrica con 10 litros de capacidad. Calcula sus dimensiones si se desea que el gasto de material sea mínimo.

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Autores: Mª José García Cebrian, Ángel cabezudo Bueno y Alejandro J. González Troncoso
Adaptación: Marián Mateos Utrilla
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012
 
 

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