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Máximos y mínimos relativos |
Análisis | |
2.- Extremos relativos |
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Recuerda:
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Tenemos entonces que f '(x0) = 0
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Tenemos entonces que f '(x0) = 0
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Se deduce el siguiente teorema: |
TEOREMA (Condición necesaria de extremo relativo) Si una función f tiene un extremo relativo en un punto de abcisa x0 y existe f '(x0) entonces f '(x0) = 0 |
El recíproco de este teorema no es cierto: Es decir, si una función tiene derivada nula en x0, no necesariamente la función tiene un extremo relativo en x0. Veamos un ejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto: |
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Observa esta función,
en el punto x = 0 la función tiene derivada nula (la tangente es
horizontal) y sin embargo en dicho punto no hay extremo relativo
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En la escena están representadas f(x), f '(x) y f ''(x)
Anota en tu cuaderno qué signo toma la segunda derivada en el máximo y en el mínimo
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Se deduce el siguiente teorema: |
TEOREMA (Condiciones suficientes de extremo relativo)
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EJERCICIOS 1.- Halla los extremos relativos de la función f(x) = (x2+1)/x. 2.- Halla a, b y c de manera que la función f(x) = ax2+bx+c tenga un mínimo relativo en el punto (6, -12) y se anule para x = 8. 3.- Demuestra que la función cuadrática f(x) = ax2+bx+c tiene siempre extremo relativo en su vértice, siendo máximo si a < 0 y mínimo si a > 0. 4.- Halla el valor de k que hace que la función f(x) = ex/(x2+k) tenga un extremo relativo único. ¿Se trata de un máximo o un mínimo relativo?. |
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012 | ||||||||||||||||
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