logo descartes
 Crecimiento y decrecimiento de una función
Análisis
 
1.- Monotonía

Recuerda:

  • Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b), si y sólo si
    para todo x1, x2 pertenecientes al intervalo (a,b) tales que x1 < x2 se verifica  f(x1) < f(x2)
  • Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b), si y sólo si
    para todo x1, x2 pertenecientes al intervalo (a,b) tales que x1 < x2 se verifica  f(x1) > f(x2)
  • Una función f es estrictamente creciente en un punto de abcisa x0, si  existe un entorno simétrico de  de x0, (x0-c, x0+c), en el cual la función es estríctamente creciente.
  • Una función f es estrictamente decreciente en un punto de abcisa x0, si  existe un entorno simétrico de  de x0, (x0-c, x0+c), en el cual la función es estríctamente decreciente.
  • La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.


Cambia el valor de la x y observa qué le sucede  a la pendiente de la recta tangente a la curva cuando la función es creciente, decreciente o alcanza un extremo relativo.

Contesta en tu cuaderno las siguiente cuestiones:

1. Intervalos donde la función es creciente. ¿Cómo es la derivada en esos puntos?

2. Intervalos donde la función es decreciente. ¿Cómo es la derivada en esos puntos?

3. Anota los puntos donde la función alcanza un extremo relativo. ¿Cómo es la derivada en esos puntos?  

La siguiente propiedad o teorema nos muestra la relación que existe entre el crecimiento y el decrecimiento y la derivada.
  • Si f '(x0) > 0, entonces la función es estrictamente creciente en x0.
  • Si f '(x0) < 0, entonces la función es estrictamente decreciente en x0.
 
  Observa ahora la escena donde esán representadas una función f(x) y su derivada f '(x)
 


Comprueba cambiando el valor de x en la escena, que f es creciente si x < 1 y decreciente si x > 1.

Contesta en tu cuaderno las siguiente cuestiones:

1.  ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente mientras la función es creciente?, ¿y cuando es decreciente?

2.  ¿Qué relación observas entre el signo de la derivada y el crecimiento o decrecimiento de la función?
 

EJERCICIOS

1.-  Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función h(x) = -x2 en los puntos x = 2 y x = -2.
2.-  Halla los puntos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = x3-6x2.
3.-  Estudia la monotonía de la función (x-3)/(x+3)

  volver al indice
  
  adelante  
           
 
Autores: Mª José García Cebrian, Ángel cabezudo Bueno y Alejandro J. González Troncoso
Adaptación: Marián Mateos Utrilla
logo2
  
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.