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  Máximos y mínimos relativos
Análisis
 

2.- Extremos relativos

Recuerda:

  • Una función f tiene un máximo relativo en un punto de abcisa  x0 si existe un entorno de x0 (x0-c, x0+c), tal que para todo x que pertenece al entorno reducido (x0-c, x0+c)-{x0} se verifica que f(x) < f(x0)
  • Una función f tiene un mínimo relativo en un punto de abcisa  x0 si existe un entorno de x0 (x0-c, x0+c), tal que para todo x que pertenece al entorno reducido (x0-c, x0+c)-{x0} se verifica que f(x) > f(x0)


Comprueba, cambiando el valor de x en la escena que este caso la función pasa de ser CRECIENTE a ser DECRECIENTE. Observa que la tangente es HORIZONTAL


Tenemos entonces que f '(x0) = 0




Ahora la función pasa de ser DECRECIENTE a ser CRECIENTE. También aquí la tangente es HORIZONTAL


Tenemos entonces que f '(x0) = 0
Se deduce el siguiente teorema:
TEOREMA (Condición necesaria de extremo relativo)
 
  Si una función f tiene un extremo relativo en
un punto de abcisa x0 y existe f '(x0) entonces f '(x0) = 0
El recíproco de este teorema no es cierto: Es decir, si una función tiene derivada nula en x0, no necesariamente la función tiene un extremo relativo en x0.

Veamos un ejemplo que demuestra que el recíproco no es cierto:

punto de inflexion



Observa esta función, en el punto x = 0 la función tiene derivada nula (la tangente es horizontal) y sin embargo en dicho punto no hay extremo relativo




En la escena están representadas f(x), f '(x) y f ''(x)

La función f alcanza un máximo en x = -1 y un mínimo en x = 1.

Cambia el valor de x en la escena y observa los valores de f ' y f '' en estos puntos.


Anota en tu cuaderno qué signo toma la segunda derivada en el máximo y en el mínimo
Se deduce el siguiente teorema:
TEOREMA (Condiciones suficientes de extremo relativo)
  • Si f '(x0) = 0 y f ''(x0) < 0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto de abcisa x0
  • Si f '(x0) = 0 y f ''(x0) > 0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto de abcisa x0
  • Si f '(x0) = 0 y f ''(x0) = 0 entonces no se puede afirmar nada
EJERCICIOS

1.-  Halla los extremos relativos de la función f(x) = (x2+1)/x.
2.-  Halla a, b y c de manera que la función f(x) = ax2+bx+c tenga un mínimo relativo en el punto (6, -12) y se anule para x = 8.
3.-  Demuestra que la función cuadrática
f(x) = ax2+bx+c tiene siempre extremo relativo en su vértice, siendo máximo si a < 0 y mínimo si a > 0.
4.-  Halla el valor de k que hace que la función f(x) =
ex/(x2+k) tenga un extremo relativo único. ¿Se trata de un máximo o un mínimo relativo?.


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Autores: Mª José García Cebrian, Ángel cabezudo Bueno y Alejandro J. González Troncoso
Adaptación: Marián Mateos Utrilla
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012
 
 

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