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Optimización de funciones |
Análisis | |
3.- Optimización de funciones |
En muchas situaciones sociales, políticas, económicas, tecnológicas, físicas, médicas, matemáticas, etc., se plantean problemas sobre optimización de funciones, es decir, problemas en los que sólo nos interesa conocer el máximo o el mínimo de una función. Para resolver este tipo de problemas hay que seguir los siguientes pasos:
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Veamos a continuación dos ejemplos de problema de optimización: |
EJEMPLO 1 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo. |
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1. La función que deseamos maximizar es: V = (80 - 2x)(50 - 2x)x = 4x3 - 260x2 + 4000x 2. La función es de una variable 3. Calculamos los extremos relativos de la función: V ' = 12x2 - 520x + 4000 V ' = 0 si y sólo si 12x2 - 520x + 4000 = 0, es decir, si x = 10 o x = 33,3 V '' = 24x - 520, V ''(10) < 0 4. Por lo tanto, el volumen de la caja será máximo cuando x = 10 cm x = 33,3 no es solución válida pues 50 - 2x < 0 (las longitudes no pueden ser negativas) |
EJEMPLO 2 Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad? |
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1. Llamaremos x a las alarmas de tipo B instaladas e y a las alarmas de tipo A La función que deseamos maximizar es: F(x) = (yx2)/10 2. como y = 9 - x, la función queda: F(x) = (9-x)x2/10=(9x2-x3)/10 3. Calculamos los extremos relativos de la función: F '(x)=(18x-3x2)/10 F '(x) = 0 si y sólo si 18x-3x2 = 0, es decir, si x = 0 o x = 6 F(x) '' = (18 - 6x)/10, F ''(0) > 0, F ''(6) < 0 4. Por lo tanto, el máximo se obtiene cuando x = 6 luego para maximizar la seguridad se deben instalar 6 alarmas del tipo B y 3 del tipo A |
EJERCICIOS 1.- Entre los números, cuya suma es 36, encuentra aquellos números positivos cuya suma de cudrados sea mínima. 2.- Halla las dimensiones del jardín rectangular de mayor área que se puede inscribir en un terrno circular de 100 m de radio. 3.- Inscribimos un triángulo isósceles en una circunferencia de radio R. Determina las dimensiones del triángulo de área máxima. 4.- Se quieren construir botes de enlatar de forma cilíndrica con 10 litros de capacidad. Calcula sus dimensiones si se desea que el gasto de material sea mínimo. |
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012 | ||||||||||||||||
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