La ecuación de segundo grado

Ecuaciones bicuadradas

ax4 + bx2 + c = 0

 

9.-  ECUACIONES BICUADRADAS
Se denominan ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de cuarto grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado:  ax4 + bx2 + c = 0

Ejemplos:

x4 - 5x2 +4 = 0

x4 - 4 = x2 - 1


8.1. SOLUCIÓN GRÁFICA

Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver gráficamente como las ecuaciones de segundo grado: representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0: ax4 + bx2 + c = 0

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

En la escena está resuelta la ecuación:  x4 - 5x2 + 4 = 0

Llamaremos a, b y c respectivamente a los coeficientes de x4, x2 y término independiente.

a = 1          b = -5           c = 4

Puede observarse en la escena que ahora la gráfica ya no es una parábola.

Como la gráfica corta en cuatro puntos al eje de la X esto significa que la ecuación tiene cuatro soluciones.

Busca las soluciones arrastrando el punto rojo o modificando los valores de x en la ventana inferior.

Soluciones: x = - 2,   x = - 1,   x = 1,   x = 2


8.2. SOLUCIÓN NUMÉRICA

Para resolver las ecuaciones bicuadradas analíticamente se procede inicialmente igual que para las de segundo grado, es decir, operar hasta que no haya denominadores y expresar la ecuación con el segundo miembro igualado a 0:   ax4 + bx2 + c = 0

Pasos para resolver ecuaciones bicuadradas:

Resolver numéricamente la ecuación: x4 - 5x2 +4 = 0  (es el ejemplo anterior)

1º  Simplificar y agrupar los términos en el primer miembro (ya está).

2º  Hacer un cambio de variable: x2 = z (podría ser otra letra cualquiera), por lo que x4 = z2

3º Resolver la ecuación con la nueva incógnita: z2 - 5z + 4 = 0 (se obtiene usando la fórmula de la ecuación de segundo grado, sus soluciones son: z = 1 ; z = 4)

Deshacer el cambio de variable: Como z = x  entonces  x = raíz cuadrada de z.

A partir de los valores de z, obtener los de x:

z = x2 = 1, de donde: x = raiz cuadrada de 1 = ± 1

z = x2 = 4, de donde: x = raiz cuadrada de 4 = ± 2

Por lo tanto obtenemos las cuatro soluciones que antes vimos gráficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.   En la siguiente escena puedes ver varios ejemplos de cómo se resuelve una ecuación bicuadrada.

Pulsa el control ejercicio para verlo.

Cada vez que pulses en ejercicio te saldrá uno nuevo.

Al menos copia los 5 primeros ejercicios en tu cuaderno.

8.3. NÚMERO DE SOLUCIONES

Dependiendo de los tipos de soluciones de la ecuación de segundo grado, las ecuaciones bicuadradas podrán tener: 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.

· Cuatro soluciones cuando la ecuación correspondiente de segundo grado tenga dos soluciones positivas.

· Tres soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y una 0 (la raiz cuadrada de 0 es 0 luego de esta sólo se obtiene una).

· Dos soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y otra negativa (la raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real).

· Una solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga sólo la solución 0 o cuando tenga una solución 0 y otra negativa.

· Ninguna solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga dos soluciones negativas, una sola negativa o ninguna solución.


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En la escena adjunta se representa la ecuación bicuadrada: x4 - 4x2 = 0 que tiene tres soluciones.

Se presenta en rojo la ecuación bicuadrada y en azul la de segundo grado correspondiente.

Observa que las ecuaciones están escritas en las dos ventanas inferiores.

Ejercicio 8.3.- Resolver numéricamente la ecuación anterior: x4 - 4x2 = 0, comprobando las soluciones obtenidas gráficamente.

8.4. EJERCICIOS DE REPASO



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Ejercicio 8.4.a

- Utiliza la escena adjunta para resolver gráficamente las siguientes ecuaciones bicuadradas:

   ax4 + bx2 + c = 0

a) x4 - 3x2 + 2 = 0
b) x4 - 10x2 = -9
c) x4 = x2
d) x4 - 2x2 - 8 = 0

Escribe los valores de a, b y c en las ventanas correspondientes y pulsa INTRO.

Busca las soluciones (los puntos de corte con el eje X) arrastrando el punto rojo o modificando los valores de x en la ventana inferior.

Cuando las soluciones no sean números enteros, puedes ver el valor aproximado pinchando con el ratón en el punto de corte y viendo las coordenadas.

Resuélvelas numéricamente en tu cuaderno comprobando que las soluciones coinciden.



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Ejercicio 8.4.b.

Pulsa el botón EJERCICIO

Se genera una ecuación bicuadrada.

Resuélvela en tu cuaderno.

En Tipo de solución pincha en la flechita, se despliega una ventana, elige el número de soluciones que te ha dado.

Introduce las soluciones en las ventanas correspondientes.

Y pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.


Vuelve a pulsar en EJERCICIO y repite todo el proceso.

También las puedes resolver gráficamente en la escena del ejercicio anterior.




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Leoncio Santos Cuervo

Miguel Ángel Cabezón Ochoa

Modificado por Manuel Estébanez Ruiz

Proyecto Descartes






Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, Año 2012









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