La ecuación de segundo grado.
Discusión
 

7.- NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. DISCRIMINANTE.

La ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0  puede tener: una, dos o ninguna solución.

Pero no nos hace falta resolverla para saber el número de soluciones que va a tener, nos basta con calcular el signo de su Discriminante. 

El discriminante se suele representar por un pequeño triángulo, pero aquí le llamaremos D.

El discriminante es el radicando de la fórmula que utilizamos para resolver las ecuaciones de segundo grado:

D = b2 - 4ac
  • D > 0   Dos soluciones reales distintas. La parábola corta en dos puntos al eje X.

  • D = 0   Dos soluciones reales iguales. (Una solución doble). La parábola corta en un punto al eje de las X, en su vértice.

  • D < 0   No hay solución  real. La parábola no corta al eje de las X.


1) ECUACIONES CON DOS SOLUCIONES: D > 0

Ejercicio 1.- Calcula en tu cuaderno el discriminante de la ecuación: 3x2 - 4x + 1 = 0

Verás que el discriminante da +4

¿Qué significa esto?

Como la raíz cuadrada de 4 es +2 y -2 la ecuación tendrá dos soluciones y la parábola cortará al eje X en dos puntos.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Vamos a comprobarlo gráficamente:

Observa en la escena adjunta la representación gráfica de la ecuación que estamos estudiando.

¿Qué observas respecto a la parábola y el eje X?

Ves que la parábola corta en dos puntos al eje de abscisas.

Si el discriminante es positivo:     D > 0
  • La parábola corta en dos puntos al eje de abscisas.
  • La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones.


2) ECUACIONES CON UNA SOLUCIÓN: D = 0

Ejercicio 2.- Calcula en tu cuaderno el discriminante de la ecuación: x2 - 2x +1 = 0

Verás que el discriminande da 0.

¿Qué significa?

Como la raíz cuadrada de 0 es 0, se obtiene que x = 2/2 = 1 la ecuación tendrá una solución y la parábola cortará al eje X en un punto.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Vamos a comprobarlo gráficamente:

Observa en la escena adjunta la representación gráfica de la ecuación que estamos estudiando.

¿Qué observas respecto a la parábola y el eje X?

Ves que la parábola corta en un punto al eje de abscisas, en x =1, que es el vértice de la parábola.


Si el discriminante da 0:        D = 0
  • La parábola corta en un punto al eje de abscisas.
  • La ecuación de segundo grado tiene una solución doble.


3) ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN REAL: D < 0

Ejercicio 3.- Calcula en tu cuaderno el discriminante de la ecuación: x2 + 2x + 2 = 0

Verás que el discriminante da -4

¿Qué significa?

Al aplicar la fórmula obtendrás la raíz cuadrada de un número negativo, en este caso la ecuación no tiene solución real y la parábola no cortará al eje X.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Vamos a comprobarlo gráficamente:

Observa en la escena adjunta la representación gráfica de la ecuación que estamos estudiando.

¿Qué observas respecto a la parábola y el eje X?

Ves que la parábola no corta al eje de abscisas.



Si el discriminante es negativo:        D < 0
  • La parábola no corta al eje de abscisas.
  • La ecuación de segundo grado no tiene solución real.


RESUMEN

Hemos visto que el número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende del signo del número que se obtenga dentro de la raíz cuadrada de la fórmula, o sea, del signo del "discriminante" de la ecuación: D = b2 - 4ac

Puede ocurrir:

a) Que el discriminante sea un número positivo (Ejercicio 1 ). En cuyo caso la ecuación tiene dos soluciones.

b) Que el discriminante sea 0 (Ejercicio 2). En cuyo caso la ecuación tiene una única solución.

c) Que el discriminante sea un número negativo (Ejercicio 3). En cuyo caso la ecuación no tiene solución.


EJERCICIOS:
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Ejercicio 4

Pulsa en
EJERCICIO para ver el discriminante de una ecuación de segundo grado.

Pulsa
VER SOLUCIÓN para ver la solución de la ecuación mediante la fórmula.

Copia al menos 5 ejemplos en tu cuaderno.



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Ejercicio 5

- Utiliza la escena, cambiando los valores de los parámetros a, b y c de forma adecuada, para resolver
gráficamente las siguientes ecuaciones:

a)  x2 - 2x - 11 = 0
b)  x2 - 1/4 = 0
c)  4x2 - 4x + 3 = 0
d)  -2x2 + 4x - 5 = 0

Resuélvelas numéricamente en tu cuaderno usando la fórmula  y comprueba que obtienes las mismas soluciones.


Ejercicio 6

- Utiliza la escena para encontrar ecuaciones de segundo grado (con coeficientes enteros), distintas a las que has resuelto, que tengan dos, una o ninguna solución y escribe dichas soluciones en tu cuaderno.


Practica cuanto desees cambiando los valores de los parámetros: a, b, c en la ventana.

Ejercicio 7
- Escribe en tu cuaderno al menos dos ecuaciones de cada tipo calculando el valor del "discriminante" y viendo que en cada caso es el que corresponde al número de soluciones de la ecuación.


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Ejercicio 8

Pulsa en el botón
EJERCICIO y se generará una ecución de segundo grado.

Calcula en tu cuaderno el número de soluciones que tiene utilizando la fórmula del discriminante.

En
Número soluc... utiliza las flechitas para poner el número de soluciones que te han dado.

Pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Al menos tienes que hacer 5 ejercicios en tu cuaderno.

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  Leoncio Santos Cuervo

Miguel Ángel Cabezón Ochoa

Modificado por Manuel Estébanez Ruiz

enlace a Descartes  
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012
 
 

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